베르누이 분포

확률 분포 중에서 가장 기본이 되는 개념이다.
어떤 시행의 결과가 ‘성공’ 또는 ‘실패’, 딱 두 가지로만 나오는 경우를 다루기 때문이다.
예를 들면 동전 던지기의 앞면/뒷면, 시험의 합격/불합격 같은 상황을 수학적으로 모델링하는 데 사용된다.
이런 단 한 번의 시행을 ‘베르누이 시행’이라고 부른다.

1. 베르누이 분포란?

결과가 둘 중 하나로 만 나오는 시행에서, 각 결과가 나올 확률을 나타내는 분포이다.
가장 중요한 포인트는 시행을 딱 한 번만 한다는 것이다.
만약 동전을 한 번 던져서 앞면이 나올 확률을 알고 싶다면, 그게 바로 베르누이 분포가 다루는 영역이다.

핵심 개념은 다음과 같이 정리할 수 있다.

• 결과는 두 개뿐: 성공(1) 또는 실패(0)로 결과를 표현한다.
• 단 한 번의 시행: 여러 번 반복하는 경우는 다루지 않는다.
• 성공 확률: 성공할 확률을 $p$라고 하면, 실패할 확률은 자연스럽게 $1-p$가 된다.

2. 확률 질량 함수 (PMF)

베르누이 분포의 확률은 아주 간단한 식으로 표현할 수 있다.

\[P(X=k) = p^k (1-p)^{1-k}\]

이 식은 특정 결과($k$)가 나올 확률을 계산한다.
식이 복잡해 보이지만, $k$에 0과 1을 넣어보면 아주 당연한 결과가 나온다.

• $X$: 베르누이 시행의 결과를 나타내는 확률 변수이다. (결과는 0 또는 1)
• $k$: 우리가 알고 싶은 결과값. 성공이면 1, 실패면 0을 넣는다.
• $p$: 성공할 확률. 예를 들어 동전 던지기에서 앞면이 나올 확률은 0.5이다.

만약 ‘성공’($k=1$)할 확률을 구하고 싶다면, 식에 $k=1$을 대입한다.
\(P(X=1) = p^1 (1-p)^{1-1} = p^1 (1-p)^0 = p\) ‘실패’($k=0$)할 확률을 구하고 싶다면, 식에 $k=0$을 대입한다.
\(P(X=0) = p^0 (1-p)^{1-0} = p^0 (1-p)^1 = 1-p\) 결국 성공 확률은 $p$, 실패 확률은 $1-p$라는 당연한 이야기를 하나의 식으로 깔끔하게 표현한 거다.

3. 종합

정리해 보면,

1. 상황 정의: 결과가 성공/실패 두 가지인 한 번의 시행이 있다.
2. 확률 설정: 성공 확률을 $p$로 정한다.
3. 결과 예측: 이 시행에서 성공(1)이 나올 확률은 $p$이고, 실패(0)가 나올 확률은 $1-p$이다.

이 간단한 분포가 중요한 이유는, 앞으로 배우게 될 더 복잡한 확률 분포들(예: 이항 분포)의 기초가 되기 때문이다.

결론

가장 단순하지만 모든 확률 분포의 시작점이 되는 개념이다.
이걸 알아야 ‘여러 번 시행하면 어떻게 될까?’ 같은 질문으로 넘어갈 수 있다.
기초를 단단히 다지는 그런 느낌이다.